Ekonometria	Opracowania ! Przykład modelu ekonometrycznego	Strona główna
Krótka definicja słowa Ekonometria i modeli ekonometrycznych. Fragment pracy licencjackiej napisanej pod kierunkiem dra J.Korola. Uniwersytet Szczeciński, 2000r.

Przedmiotem Ekonometrii jest statystyczne badanie ilościowych prawidłowości ekonomicznych. Ekonomista chcąc wpływać na kształtowanie się zjawisk gospodarczych, przewidywać je i kontrolować zmuszony jest badać poznawać te zjawiska. W odkrywaniu i formułowaniu ilościowych praw ekonomicznych zasadniczą rolę odgrywa badanie statystycznych prawidłowości w kształtowaniu się procesu gospodarczego. Ekonometria wywodzi się z połączenia trzech podstawowych nauk; matematyki, statystyki i ekonomii. Z połączenia Matematyki i statystyki powstała Statystyka Matematyczna, a z połączenia Statystyki i Ekonomi - Statystyka ekonomiczna. Wspólne zainteresowania Matematyki i Ekonomi utworzyły Ekonomię matematyczną, wspólne zainteresowania zaś Ekonomii, Matematyki i Statystyki są podstawą rozwoju nauki zwanej Ekonometrią.

Prognozowanie ekonometryczne jest funkcją materiału empirycznego i ma charakter ekstrapolacyjny. Zależności przewidywania ekonometrycznego od materiału empirycznego objawia się tym, że podstawą wnioskowania w przyszłość jest obserwacja zmiennych ekonomicznych w przeszłości, Wykryte w trakcie analizy danych statystycznych z przeszłości prawidłowości i powiązania między zmiennymi są z kolei podstawą do zbudowania modelu ekonometrycznego. Niektóre modele ekonometryczne wskazują, w jaki sposób jedne wielkości ekonomiczne zależą od pewnych wielkości i odzwierciedlają powiązania o charakterze przyczynowo - skutkowym między zmiennymi. Jeżeli zjawisko ekonomiczne rozwijało się w przeszłości wskutek pewnego układu zmiennych objaśniających, jak to wskazuje model, to przewidywanie rozwoju tego zjawiska w przyszłości następuje przy założeniu, że zespół wspomnianych czynników nie ulegnie większym zmianom. Przenoszenie w przyszłość przedstawionych modelowo powiązań ilościowych jest możliwe pod warunkiem przyjęcia potwierdzonych przez rzeczywistość założeń co do warunków panujący w okresie prognozowanym. Prognozowanie ekonometryczne jest szczególnym przypadkiem prognozowania w ogóle.

Por.; (schemat) J. Hozer, Zawadzki, Ekonometria stosowana, Politechnika Szczecińska, 1985, także Piszczała J. Matematyka i jej zastosowanie w naukach ekonomicznych, Akademia Eekonomiczna, Poznań 1999, s.100-120.

Zasadniczym narzędziem badawczym Ekonometrii jest model ekonometryczny, który ma stochastyczny charakter, przejawiający występowaniem składnika losowego. Ze względu na to należy wymienić warunki w jakich metody ekonometryczne mogą być stosowane:

• 1. Badana prawidłowość ekonomiczna musi być stała
• 2. Uwzględnione w badaniu zjawiska ekonomiczne i pozaekonomiczne muszą być mierzalne.
• 3. Spośród czynników wpływających na badane zjawisko można wyodrębnić podzbiór czynników istotnych.
• 4. Istnieją odpowiednie dane statystyczne o badanych zjawiskach (dane przekrojowe, przekrojowo-czasowe, i dane w postaci szeregów czasowych)

Ekonometryczne modele odnoszą się zawsze do konkretnej praktyki gospodarczej, w której zmieniają się warunki działania, zakresy kompetencji, cele działania. Model ekonometryczny stanowi matematyczną formę zapisu zależności między badanymi zjawiskami ekonomicznymi a innymi zjawiskami tak i ekonomicznymi jak i pozaekonomicznymi. Ujmuje on te związki, które są trwałe i istotne. Istotnym problemem przy badaniu prawidłowości w zakresie współzależności zjawisk jest rozstrzygnięcie, jakie własności posiada zbiór zmiennych objaśniających i czy jest to zbiór zmiennych losowych, czy też nielosowych.

Ekonometryczne modele opisowe odpowiednio od rodzaju prawidłowości statystycznych możemy podzielić na trzy grupy:

Modele przyczynowo opisowe to takie, których zmienne endogeniczne odgrywają rolę skutkowa zmienne objaśniające rolę przyczyn, ale de facto nie zawsze nimi są. badając efektywność zasobów porównujemy kształtowanie się poziomu produkcji z zasobami jednak poziom zasobów nie stanowi przyczyny takiego a nie innego kształtowania się produkcji. zasoby te są składnikiem koniecznym, ale nie wystarczającym dla poziomu produkcji. Modele przyczynowo-opisowe dzielą się na modele:

• A- jednorównaniowe
• B- wielorównaniowe- proste, rekurencyjne, modele o równaniach wspłózależnych.

Innym kryterium podziału modeli ekonometrycznych jest kryterium czasu. Ze względu na nie wyróżniamy modele:

• A- statyczne,
• B- dynamiczne.

Modele ekonometryczne ze względu na postaci związków prezentowanych przez model:

• A- modele liniowe
• B- modele nieliniowe.

Modele tendencji rozwojowej są to modele budowane dla danych w postaci szeregów czasowych; rocznych, kwartalnych, miesięcznych, dekadowych itp. Modele tendencji rozwojowej możemy podzielić na modele trendu i modele wahań oraz na modele ciągłe i skokowe

Modele struktury są t modele opisujące rozkład badanej cechy.

Etapy procesu ekonometrycznego modelowania

Wyłączając cele dydaktyczne i badania naukowe na rzecz rozwoju metodologii, modele ekonometryczne w zakresie ekonometrii stosowanej możemy budować w celu:

W przypadku jakichkolwiek pytań proszę o kontakt. Jeśli będę znał tylko odpowiedź na pewno natychmiast ją otrzymacie. Natomiast jeśli pytanie miałoby zmusić mnie do pogłębienia wiedzy, na odpowiedź będziecie musieli nieco poczekać, ale takie pytanie bardziej mnie być może ucieszy.

Wstęp

W pracy niniejszej podjęty został problem budowy opisowego modelu ekonometrycznego. Modele ekonometryczne, budowane dla potrzeb gospodarki muszą cechować się dużą dokładnością i poprawnością, aby na ich podstawie dokonywać podstawowych prognoz. Prognoza nie jest zadaniem modelu opisowego, jednakże poprawnie skonstruowany model opisowy ma zawsze pewne własności prognostyczne. Chcąc oszacować relacje pomiędzy różnymi procesami gospodarczymi należy odwołać się do dokładnych danych statystycznych zbieranych przez wojewódzkie urzędy statystyczne. Oszacowany w tej pracy model ekonometryczny poziomu skupowanego żywca rzeźnego w przeliczeniu na mięso (w tys. ton), łącznie z tłuszczami, zostaw dokonany na podstawie danych rocznikowych z lat 1990-1999. Zmiennym-kandydatkami do modelu są:

1. Y- Skup żywca rzeźnego w przeliczeniu na mięso (łącznie z tłuszczami) w tys. ton,
2. X₁ - Skup ziarna zbóż podstawowych w tys. ton,
3. X₂ - Powierzchnia zasiewów (stan w czerwcu) w mln. ha,
4. X₃ - Zużycie nawozów sztucznych w przeliczeniu na czysty składnik na 1ha użytków rolnych,
5. X₄ - Zwierzęta gospodarskie (stan w czerwcu) w milionach sztuk-bydło,
6. X₅ - Skup produktów rolnych (ceny stałe)-(rok bazowy) 1990=100,
7. X₆ - Nakłady inwestycyjne w rolnictwie (ceny stałe)- (rok bazowy)1990=100,
8. X₇ - Spożycie niektórych artykułów konsumpcyjnych - mięso na osobę w ciągu roku w kg.,
9. X₈ - Obroty handlu zagranicznego-eksport w mln. $ USA.

Doboru zmiennych kandydatek dokonano z założeniem zależności ze zmienną objaśnianą.

Chcąc zbadać zależność np. spożycia mięsa na osobę i ilości skupowanego mięsa można to zrobić prostym modelem regresji liniowej z jedną zmienną i dwoma parametrami (w tym jednym stałym). Natomiast badanie zależności wielorakich jest bardziej skomplikowane i składa się na większą ilość operacji arytmetycznych, aby określić oceny numeryczne parametrów równania 1.0

Zbudowany model określający kształtowanie się badanej zmiennej endogenicznej nie jest jedynym równaniem, które może zostać skonstruowane. Określa ono bowiem tylko zależności pomiędzy zmiennymi niezależnymi, a zmienną objaśnianą. Należy zatem zaznaczyć, że można dokonać konstrukcji kolejnych modeli z uwzględnieniem innych zmiennych niezależnych, należy pamiętać, aby zmienne te miały ze sobą udokumentowany wcześniej związek, wiadomy z doświadczenia. Można także odkryć nowy związek pomiędzy różnymi zmiennymi, ale trzeba zachować ostrożność w badaniu bowiem teoretycznie jeśli istnieje związek pomiędzy np. wzrostem bezrobocia, a spadkiem ilości pożarów nie można twierdzić, że spadek ilości pożarów zawdzięczamy wzrostowi bezrobocia. Znaczy to tyle, że pierwsza zmienna nie implikuje wartości drugiej zmiennej. Ogólna postać modelu badającego zależności liniowe dana jest wzorem:
1.0 Y=a₁X₁+a₂X₂+a₃X₃+,...,a_kX_k,
gdzie:
a - parametr przy danej zmiennej,
k - numer parametru przy zmiennej,
n - ilość obserwacji.

Podstawowe zasady weryfikacji zmiennych kandydatek

Poza tym dobierając zmienne do modelu należy zweryfikować ich poprawność pod względem takich cech, jak: dostatecznie duża zmienność, rodzaj i poziom istniejących związków pomiędzy zmiennymi.

Badanie zmienności zmiennych

Należy założyć określony poziom krytyczny zmienności dla danej zmiennej, który powinien być podyktowany także znajomością kształtowania się zmienności zmiennej we wcześniejszych okresach, lub , jak w tym przypadku w innych państwach. Jeśli bowiem poziom zmienności nakładów inwestycyjnych w rolnictwie ma poziom vs=0,06 nie można stwierdzić natychmiast, że ten poziom dyskwalifikuje zmienną ponieważ obserwowane nakłady na inwestycje w innych krajach na przełomie wielu lat nigdy nie wykazywały większej zmienności aniżeli vs=0,08. Określenie prawidłowego poziomu krytycznego vs dla każdej zmiennej (dany wzorem 1.1) nastręcza zatem wiele trudności.
1.1 vs=Se_i/średnia arytmetyczna zmiennej_i,
gdzie:
Se -odchylenie standardowe zmiennej z numerem i,
i - numer zmiennej i=1,2,3,...,k.

Dla potrzeb modelu zostanie zbadany poziom zmienności wszystkich zmiennych lecz zmienne nie zostaną zweryfikowane w oparciu o jego poziom. Wszystkie zmienne zostaną zakwalifikowane do dalszego etapu modelowania. Dysponując danymi z tabeli 1.2 określić można na podstawie wzoru 1.1 następujące wartości vs dla wszystkich zmiennych kandydatek

Obniżony poziom zmienności wykazują zmienne X₂,X₇ przyjmuje się, że ich zmienność w czasie jest na poziomie, który gwarantuje ich poprawność.

1.2 Badanie związków pomiędzy zmiennymi

Rodzaj i poziom zależności pomiędzy wszystkimi zmiennymi zostanie zmierzony przy pomocy współczynnika korelacji liniowej Pearsona

Wartości r wskazują na silniejszy związek zmiennych niezależnych ze zmienną endogeniczną niż pomiędzy sobą. Jest to jeden z warunków akceptacji zmiennej kandydatki do dalszego etapu modelowania.

Estymacja parametrów strukturalnych modelu Estymacja parametrów strukturalnych modelu polega na wyznaczeniu takich ocen numerycznych a₁, a_2, a₃, ..., a_k, parametrów a₁, a₂, a₃, ...,a_k, że suma kwadratów reszt osiąga minimum. Oznacza to, że każda liniowa funkcja o parametrach innych od oszacowanych dałaby sumę reszt (regresyjnych) większą od uzyskanej. Warunki wymienione powyżej można zapisać wzorem 1.3.
1.3 Set²=S(Y - Y' ) ² ťť min ťť 0,
gdzie:
e - odchylenie wartości empirycznych od wartości teoretycznych (reszta),
t - numer okresu.

2.1 Wyznaczenie ocen parametrów

Przyjmując za istotny warunek dany wzorem 1.3 oceny numeryczne (wektor a) parametrów równania wyznaczymy za pomocą następującej zależności:
1.4 [a₁,a₂,a₃ ... a_k]=(X’X)^-1X’Y,
Kolejno, więc należy wyznaczyć wszystkie elementy prawej strony równania 1.4. Wyznaczenie macierzy CROSS (z wyrazem wonym=0).
1.5 =(X'X),
gdzie:
X - macierz obserwacji zmiennych objaśniających.
Wartość tego równania jest symetryczna macierz iloczynów skalarnych, zwana macierzą CROSS

 Podniesiona do potęgi (-1) macierz CROSS daje macierz odwrotną tej macierzy - 1.7. Obie wartości zostały wyznaczone przy użyciu wyspecjalizowanych programów (MatLabStatistica 5.01) komputerowych, z założeniem wartości wyrazu wolnego = 0.

Wyznaczenie wektora X'Y;

(Tab. 1.8)oraz wyznaczone parametry modelu (1.9)

X'Y=		=(X'X)-1X'Y=
[71232117,84 197963,78 1347370,42 118636,78 1273479,02 694481,52 938676,5 314294767,6]	a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8	[-3,0306825 4138,729472 988,545607 -10059,3762 1063,963884 -1555,14564 89,67231758 -3,4243082]

Dysponując wartościami wyrażeń 1.7, 1.8 można wyznaczyć wartość wektora ocen parametrów modelu.

Wyznaczone parametry strukturalne modelu pozwalają na zdefiniowanie równania modelu w sposób następujący:
2.0 Y=-3,03X₁+4138,7 X₂+988,5X₃ -10059,3X₄+1063,9X₅ -1555,1X₆+89,6X₇-3,42X8

Szacowanie średnich błędów ocen parametrów

Szacowanie średnich błędów szacunku polega na wyznaczeniu wartości całkowitej wariancji resztowej i wyznaczeniu kolejnych pierwiastków kwadratowych z iloczynów przekątnej macierzy MatrixInverse (1.7) i wartości całkowitej wariancji. Zapisać to można w postaci wzoru 2.4. Wyznaczenie wartości całkowitej wariancji składnika losowego polega na wyznaczeniu regresyjnej sumy kwadratów i podzielenia jej przez różnicę obserwacji i ilości szacowanych parametrów, co można zapisać wzorem 2.1 lub posługując się bardziej skomplikowaną notacją macierzową 2.2.
2.1 Se²= S(Y-Y')² /n-k
2.2 Se²= (Y'Y-Y'X(X'X)^-1X'Y) /n-k

Średnie błędy szacunku S_ak dla wszystkich parametrów w modelu wyznaczamy posługując się wzorem;
2.4 Sa²_k=Se²(X’X)^-1=Sa_k Wszystkie wartości średnich błędów szacunku zawarte są w tabeli 1.5.

Jak widać błędy średnie estymowanych parametrów nie są duże, co jest zadowalającym rezultatem przeprowadzonego modelowania, wnioskować można, że model ma znamiona poprawności.

Weryfikacja równania. Testowanie istotności statystycznej parametrów modelu

Weryfikacja modelu ma za zadanie, dzięki dostępnym metodom dać odpowiedź na pytanie czy model jest zbudowany poprawnie. Dokonać można tego sprawdzając istotność statystyczną parametrów modelu oraz stosując miary sprawdzające dopasowanie funkcji do danych empirycznych.

Test t-Studenta Sprawdzając istotność statystyczną (indywidualną) parametrów modelu należy postawić hipotezę zerową, która mówi, że parametr jest statystycznie różny od zera, zatem założyć jego istotność przeciwko hipotezie alternatywnej, która mówi, że parametr nie jest istotny statystycznie. Można to zapisać w następujący sposób;
2.7 H₀ :a_k=0

Wykorzystując statystykę t daną wzorem: 2.8 t= a_k/Sa_k gdzie: k - numer parametru przy zmiennej.

Dla n-k=2 stopni swobody przy poziomie p=0,05 (odczytane z tablic rozkładu t-Studenta ) wartość statystyki t, przy której nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej to t= 4,303. Analizując wartości t z tabeli 1.6 widać, że dwa parametry nie posiadają indywidualnej istotności statystycznej lub inaczej mówiąc nie są statystycznie różne od zera. Wynik taki kwalifikuje model do powtórnego rozpatrzenia.
Test F Snedecora Test F dany wzorem 3.0 pozwala na weryfikowanie hipotezy dotyczącej wartości wszystkich składowych wektora a danego wzorami 1.4, 1.9.
3.0 F = M*(k+1)Se²
gdzie:
M dane wzorem; 3.1 M=(a - a₀)'X'X(a - a₀)

Stawiana jest zatem hipoteza zerowa przeciwko hipotezie alternatywnej dana wzorem 3.2. Wyników testowanie parametrów za pomocą statystyki F nie zostało zamieszczone w powyższszym opracowaniu.

Badanie dopasowania modelu do danych empirycznych

Wykorzystując dostępne miary dopasowania można zbadać, czy dane równanie modelu w sposób należyty opisuje zmienną objaśnianą. Posługując się wzorem na wskaźnik zbieżności 2.3 można uzyskać odpowiedź na pytanie w ilu procentach model nie wyjaśnia kształtowania się danych empirycznych.
3.3 j²=S(Y-Y’)² /S(Y-Y)² _,  
gdzie:/
Y -wartości empiryczne skupu żywca rzeźnego w latach 1990-1999,
Y'- wartości szacowane na podstawie modelu,
Y średnia wartość z okresów (wartości empirycznych) t.

Wartość wskaźnika zbieżności dla szacowanego modelu równa jest:
3.4 j²= 1034187016 = 0,99039 1044222512, - co wskazuje na absolutny brak dopasowania równania modelu do danych empirycznych. Przy tak wysokim poziomie j² dalsza weryfikacja modelu nie ma większego znaczenia, gdyż model, który w ponad 99% nie wyjaśnia zmiennej objaśnianej jest modelem nieprzydatnym.

Podsumowanie

Błąd st. BETA-wartość błędu szacunku dla (parametru) współczynnika regresji, gdyby została ona wprowadzona do równania regresji jako zmienna niezależna. B- niestandaryzowany współczynnik regresji, Poziom p- poziom istotności statystycznej dla współczynników regresji. R= 0,99982007-współczynnik korelacji wielorakiej wyjaśnia, w jakim związku pozostaje zmienna objaśniana z pozostałymi zmiennymi (objaśniającymi) w modelu. Poziom współczynnika R wskazuje na to, że kształtowanie się wartości zmiennej objaśnianej podyktowane jest niemalże całkowicie kształtowaniem się wartości zmiennych objaśniających.

R²= ,99948597- współczynniki determinacji, czyli różnica 1-j² wskazuje na to, że model wyjaśnia kształtowanie się zmiennej objaśnianej w ponad 99%, co jest bardzo zadawalającym wynikiem. Badanie istotności statystycznej parametrów modelu Wynik statystyki F (Snedecora)-patrz strona 13 i 14. df F(3,7)= 164,3882 p<,000001- stopnie swobody i poziom istotności. Parametry modelu są "łącznie" istotne statystycznie przy poziomie istotności p. Wykazują tym samym dużą istotność statystyczną Badanie autokorelacji składnika losowego (reszt) Test Durbina-Watsona służy do testowania hipotezy o występowaniu lub braku autokorelacji składnika losowego, tzn., czy istnieje liniowa zależność pomiędzy odchyleniami losowymi z różnych jednostek czasu. Stawiając hipotezę zerową, mówiącą o niewystępowaniu autokorelacji składnika losowego przeciwko hipotezie alternatywnej, posłużyć się należy statystykami d (3.5)oraz d'(3.6). 

3.5 d=S(e_t-e_t-1)²/Se_t²_,

3.6 d'=4-d 

Wartości d pochodzą z przedziału <0,4>. Dla modelu wartość d=2,816289, co świadczy o występowaniu autokorelacji ujemnej oraz d'=1,19, co potwierdza istnienie autokorelacji składnika losowego, a zarazem, ze względu na wartości graniczne dl=1,48 oraz du=1,96 skłania do odrzucenia hipotezy zerowej mówiącej o braku autokorelacji reszt w modelu. Świadczyć to może, że kolejne wartości zmiennej objaśnianej mogą nie być niezależne od ich wartości je poprzedzających. Dopasowanie rozkładu normalnego do reszt surowych Określenie kształtowania się poziomu reszt jest ważne z powodu tego, że rozkład reszt odbiegający znacznie swym rozkładem od normalnego wskazuje na występowanie wartości ekstremalnych zmiennej objaśnianej, co tłumaczyć można jako zwiększone prawdopodobieństwo występowania wartości nietypowych (losowych ),nieporównywalnie dużych lub małych w stosunku do pozostałych. Większość zjawisk społeczno-gospodarczych ma rozkład normalny, czyli przybiera wartości typowe z określonego przedziału, nie wykraczające poza wartość kilkakrotną odchylenia standardowego, wyznaczonego dla tego zjawiska. Inaczej mówiąc zbiór wartości zmiennej jest stosunkowo stabilny. Dla zmiennej objaśnianej reszty surowe nie wykraczają poza dwukrotną wartość odchylenia standardowego. Czyli dopasowanie funkcji regresji liniowej można uznać za dobre. 1.4 Dopasowanie rozkładu normalnego do reszt surowych (Y-Y').

Tab.1.8 Zawiera wartości empiryczne Y oraz szacowane na podstawie modelu Y'. 

1.5

Podsumowując model oszacowany za pomocą programu Statistica można powiedzieć, że równanie to należycie opisuje zmienną objaśnianą. Skup żywca rzeźnego opisywany jest trzema zmiennymi objaśniającymi, a mianowicie: zużyciem nawozów sztucznych w przeliczeniu na czysty składnik, na 1 ha użytków rolnych, ilością zwierząt gospodarskich (bydła) oraz indeksem całościowym skupu produktów rolnych. Dysponując wartościami parametrów z tabeli 1.7 można stwierdzić o ile może podnieść się lub spaść ilość skupowanego żywca wraz ze zmianą wartości poszczególnych zmiennych objaśniających. Jeśli zakładamy zmianę wartości jednej zmiennej i niezmienność pozostałych, wówczas należy spodziewać się różnicy wynikającej z wartości standaryzowanego BETA współczynnika regresji liniowej. Jeśli natomiast zakłada się w oparciu o wyłoniony trend lub z na podstawie innych przesłanek (dla poszczególnych zmiennych objaśniających) wzrost lub spadek wszystkich wartości zmiennych objaśniających należy założyć ten wzrost o wartości parametrów niestandaryzowanych B. Jeśli więc z różnych to względów spodziewać się można wzrostu wszystkich zmiennych o jednostkę, w jakiej zostały przyjęte do modelowania, to nastąpi wzrost lub spadek zmiennej objaśnianej o sumę wszystkich B wyrażoną w jednostkach własnych zmiennej endogenicznej. Wszystkich tych założeń należy dokonywać z uwzględnieniem błędów, jakimi są obarczone BETA oraz B. O dobrym dopasowaniu modelu do danych empirycznych może świadczyć ponadto wykres linii regresji 1.5.